Đề thi HSG Toán 9 – TP. Nha Trang – Năm 2021
Bài 1. (5,0 điểm)
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức: [latex]A = \frac{{{a^3} – 4{a^2} – a + 4}}{{{a^3} – 7{a^2} + 14a – 8}} \cdot [/latex]
b) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và khác 0, thỏa mãn: [latex]\frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b} \cdot [/latex]. Tính giá trị biểu thức: [latex]B = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right) \cdot [/latex].
Bài 2. (2,0 điểm)
Tìm x biết: [latex]\;\frac{{{{\left( {2020 – x} \right)}^2} + \left( {2020 – x} \right)\left( {x – 2021} \right) + {{\left( {x – 2021} \right)}^2}}}{{{{\left( {2020 – x} \right)}^2} – \left( {2020 – x} \right)\left( {x – 2021} \right) + {{\left( {x – 2021} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{49}}[/latex]
Bài 3. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn [latex]{a^3} + {b^3} = a – b[/latex]. Chứng minh [latex]{a^2} + {b^2} + ab < 1[/latex]
Bài 4. (2 điểm)
Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số, biết rằng khi thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục và thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương.
Bài 5. (7 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
c) Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các đoạn thẳng AB, AD sao cho BM = AN (M không trùng với A, B). Xác định vị trí của M, N để diện tích tứ giác BMND nhỏ nhất.
Bài 6. (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 5 điểm có tọa độ là các số nguyên. Chứng minh rằng có ít nhất một trung điểm của đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm đã có tọa độ là các số nguyên. (Trong mặt phẳng tọa độ Oxy: Tọa độ trung điểm bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của hai đầu đoạn thẳng).
——Hết ——
Hướng dẫn giải
Bài 6)
5 điểm thì tồn tại 3 điểm có hoành độ cùng tính chẵn lẻ (Dirichle)
3 điểm này tồn tại 2 điểm có tung độ cùng tính chẵn lẻ 2 điểm này có tọa độ trung điểm là số nguyên.