Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Nam Định – năm 2021
Bài 1
a) Cho các số thực x,y, z khác 0. Đặt [latex]a = x + \frac{1}{x}[/latex], [latex]b = y + \frac{1}{y}[/latex] và [latex]c = xy + \frac{1}{xy}[/latex].
Chứng minh [latex]{a^2} + {b^2} + {c^2} – abc = 4[/latex]
b) Cho các số thực a, b khác – 2 thỏa mãn (2a + 1)(2b + 1) = 9
Tính giá trị của biểu thức [latex]A = \frac{1}{{2 + a}} + \frac{1}{{2 + b}}[/latex]
Bài 2
a) Giải phương trình [latex]2{x^2} + x + 3 = 3x\sqrt {x + 3} [/latex]
b) Giải hệ phương trình
[latex]\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2y + 1} = \frac{{{{(x – y)}^2}}}{2}\\
(x + y)(x + 2y) + 3x + 2y = 4
\end{array} \right.[/latex]
Bài 3
Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại M, N và có tâm I thuộc BC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
a) Chứng minh các điểm A, M, H, I, N cũng thuộc một đường tròn và HA là tia phân giác của góc MHN
b) Đường thẳng đi qua I và vuông góc với BC cắt MN tại K. Chứng minh AK đi qua trung điểm D của BC.
c) Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Chứng minh [latex]\widehat {BAS} = \widehat {CAD}[/latex]
Bài 4
a) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn [latex]{x^3} + {y^2} = x{y^2} + 1[/latex]
b) Cho các số nguyên dương a, b, c thoả mãn [latex]c + \frac{1}{b} = a + \frac{b}{a}[/latex]. Chứng minh ab là lập phương của một số nguyên dương.
Bài 5.
a) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh:
[latex]{a^3} + {b^3} + {c^3} \le \frac{1}{8} + {a^4} + {b^4} + {c^4}[/latex]
b) Ban đầu có 2020 viên sỏi để trong 1 chiếc túi. Có thể thực hiện công việc như sau:
Bước 1: Bỏ đi 1 viên sỏi và chia túi này thành 2 túi mới.
Bước 2: Chọn 1 trong hai túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó thành 2 túi mới, khi đó có 3 túi.
Bước 3: Chọn 1 trong 3 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó thành 2 túi mới, khi đó có 4 túi.
Tiếp tục quá trình trên. Hỏi sau 1 số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng hai viên sỏi hay không?
——– Hết ——–
Hướng dẫn bài 5b)
Sau mỗi bước số sỏi giảm đi 1 và số túi tăng lên 1 suy ra tổng số sỏi và số túi không thay đổi sau mỗi bước.Tổng này là 2021.
Giả sử sau một số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi, khi đó tổng số tỏi và số túi phải chia hết ho 3.
Do 2021 không chia hết cho 3 nên mâu thuẫn suy ra điều giả sử là sai.
Vậy không thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi sau một số bước.