Đề thi HSG Toán 9 huyện Yên Phong – Bắc Ninh – Năm 2021
Bài 1. (1,75 điểm)
Cho biểu thức [latex]A = \left( {\frac{x}{{{x^2} – 4}} + \frac{2}{{2 – x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x – 2 + \frac{{10 – {x^2}}}{{x + 2}}} \right)[/latex]
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A < 2.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A là số tự nhiên.
Bài 2. (1,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) [latex](6x + 8)(6x + 6){(6x + 7)^2} = 72[/latex]
b) [latex]\sqrt {x – 2\sqrt {x – 1} } + \sqrt {x + 2\sqrt {x – 1} } = 2[/latex]
Bài 3. (2,25 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn [latex]3{x^2} + 3xy – 17 = 7x – 2y[/latex]
b) Cho x, y là các số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn [latex]\frac{{1 – 2x}}{{1 – x}} + \frac{{1 – 2y}}{{1 – y}} = 1[/latex]. Chứng minh [latex]M = {x^2} + {y^2} – xy[/latex] là bình phương của một số hữu tỉ.
c) Cho x, y, z thỏa mãn [latex]x + y + z = 7;{x^2} + {y^2} + {z^2} = 23;xyz = 3[/latex]
Tính giá trị của biểu thức [latex]H = \frac{1}{{xy + z – 6}} + \frac{1}{{yz + x – 6}} + \frac{1}{{zx + y – 6}}[/latex]
Bài 4. ( 3 điểm)
Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF ( H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật
b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng AC = 2EF.
c) Chứng minh rằng [latex]\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}}[/latex]
Bài 5. (1,5 điểm)
a) Cho x, y > 0 thỏa mãn x + 2y >= 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của [latex]H = {x^2} + 2{y^2} + \frac{1}{x} + \frac{{24}}{y}[/latex]
b) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :
[latex]\frac{1}{{{a^3}(b + c)}} + \frac{1}{{{b^3}(a + c)}} + \frac{1}{{{c^3}(a + b)}} \ge \frac{3}{2}[/latex]
.