Đề thi HSG Toán Huyện Gia Lâm – 2021
Câu 1 (2.0 điểm). Cho đa thức [latex]f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c[/latex] trong đó a,b, c là số thực. Biết rằng khi chia đa thức f(x) cho đa thức (x – 2) thì được dư là 5, còn chia đa thức f(x) cho đa thức (x + 1) thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức
[latex]\left( {{a^{2019}} + {b^{2019}}} \right)\left( {{b^{2020}} + {c^{2020}}} \right)\left( {{c^{2021}} + {a^{2021}}} \right)[/latex]
Câu 2 (2.0 điểm). Giải các phương trình sau:
a) [latex]\sqrt {x – 2\sqrt {x – 1} } = \sqrt {x – 1} – 1[/latex]
b) [latex]{x^3} + \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^3}}} + \frac{{3{x^3}}}{{x – 1}} = 2[/latex]
Câu 3 (2.0 điểm). Cho [latex]f\left( n \right) = \frac{{5 + 3\sqrt 5 }}{{10}}{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n} + \frac{{5 – 3\sqrt 5 }}{{10}}.{\left( {\frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^n}[/latex] với n là số tự nhiên khác 0.
Tính [latex]f\left( {n + 1} \right) – f\left( {n – 1} \right)[/latex]
Câu 4 (2.0 điểm). Tìm số tự nhiên x , biết
.[latex]\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}}} + \cdots + \sqrt {1 + \frac{1}{{{{14}^2}}} + \frac{1}{{{{15}^2}}}} } \right).\left( {1 + 2 + \cdots + x} \right) = 1612[/latex]
Câu 5 (2.0 điểm). Cho các số p và p2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 cũng là số nguyên tố.
Câu 6 (2.0 điểm) Cho P là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho PA = 3cm, PD = 4cm, PC = 5cm. Tính độ dài đoạn thẳng PB.
Câu 7 (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn.
Câu 8 (2.0 điểm) Cho [latex]\tan x = \frac{{2ab}}{{{a^2} – {b^2}}}[/latex] trong đó a > b > 0 và 0 < x < 90.
Hãy biểu diễn sinx theo a, b
Câu 9 (2.0 điểm) Cho các số dương a, b, c, thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2020. . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[latex]P = \sqrt {2{a^2} + ab + 2{b^2}} + \sqrt {2{b^2} + bc + 2{c^2}} + \sqrt {2{c^2} + ca + 2{a^2}} [/latex]
Câu 10 (2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý của S là một số chính phương. (Ví dụ S = {5; 20; 44} hoặc S = {10; 5; 90} là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ.